在我的另一个博客中已经详细的讨论了迦罗瓦理论，这节我们来说说一些其他的，这些思想的进一步研究就是迦罗瓦理论的主题了，它主要研究扩域和他们的迦罗瓦群的关系。除了这些思想，迦罗瓦理论广泛的应用在代数数论中。
定义：可分性
多项式$f(x)\in k[x]$称为可分的，若其不可约因式无重根，有限扩张$E/k$是可分的，若每一个$a\in E$是$k[x]$中无重根的不可约多项式的根。
引入如下习题便有一些不错的例子：
若$k$是特征为0的域，证明不可约多项式$p(x)$无重根。换句话说。若$E$是$p(x)$的分裂域，则不存在$a\in E$使得在$E[x]$中$(x-a)^2\mid p(x)$成立
证明：我们需要利用到一个特点，即：若$f(x)$无重根，则$gcd(f,f’)=1$。也就是在$E[x]$中，$gcd(f,f’)=1$也是成立的。若此时$(x-a)^2\mid p(x)\in E[x]$则与前面的部分矛盾，因此在特征为0的域中不可约多项式是可分的。
定理
设$k$是一个域，$f(x)\in k[x]$是可分多项式，若$E/k$是$f(x)$的分裂域，则$\mid Gal(E/k)\mid = [E:k]$
证明：这是如下我们已经证明过的命题的特殊情况：
若k的特征为0，则恰好存在$[E:k]$个扩张了$\varphi$的同构$\varPhi:E\to E’$，其中$\varphi:k\to k’$是域同构。且$E$是$k$的分裂域，$E’$是$k’$的分裂域。
定义：固定域
设$E/k$是一个域扩张，其迦罗瓦群为$G = Gal(E/k)$，若$H\leq G$则固定域$E^H$定义为
它能够证明如下命题：
定理
设$E/k$是一个域扩张，其迦罗瓦群定义为$G = Gal(E/k)$，则下列命题等价
- $E$是某可分多项式$f(x)\in k[x]$的一个分裂域
- 有一根属于$E$的不可约多项式$p(x)\in k[x]$是可分的，$p(x)$在$E[x]$中分裂
- $k = E^G$，即对所有的$\sigma\in G$，若$a\in E$，$\sigma(a) = a$，则$a\in k$
定义：迦罗瓦扩张
一个域扩张$E/k$叫迦罗瓦扩张，若它满足上述定理的任一一个条件。
迦罗瓦理论基本定理
设$E/k$是一个有限迦罗瓦扩张，其迦罗瓦群$G = Gal(E/k)$，
- 函数$H\to E^H$是所有中间域构成的集合到$Gal(E/F)$的所有子群的集合的一个双射，且该双射保持反包含关系且对每个中间域$B$和每个子群$H\leq G$有如下关系成立
- 对每个中间域$B$和子群$H\leq G$，下列定理成立
$[B:k] = [G:Gal(E/B)]$且$[G:H] = [E^H:k]$ - 中间域$B$是$k$的迦罗瓦扩张当且仅当$Gal(E/B)$为$G$的正规子群。
定理：本原元定理
若$E/k$是有限可分扩张，则存在本原元$a\in E$，也就是$E = k(a)$。
定理：代数基本定理
我们用迦罗瓦群论的基本定理来完成可构作性的讨论。
$p$是一个费马素数，若$p$具有形式$p=2^m+1$，而高斯定理再说，若$p$是一个费马素数，则正$p$边形可用直尺圆规作出。
引理
设$E/k$是一个迦罗瓦扩张，其迦罗瓦群记为$G = Gal(E/k)$，对给定的子群$G\geq H\geq L$，有
证明：$H\to E^H$是保反序的，则有域塔
那么$[E^L:k] = [E^L:E^H][E^H:k]$，在利用迦罗瓦基本定理有
定理：高斯
设$p$为奇素数，正$p$边型可构作当且仅当$p = 2^m+1$对某个$m\geq 0$成立
证明：若$p$为素数，则$x^p-1 = (x-1)\Phi_p(x)$，其中$\Phi_p$是$p$次分圆多项式，$p$次本原单位根$\zeta$是$\Phi_p(x)$的一个根，且$\mathbb{Q}(\zeta)$是$\Phi_p(x)$在$\mathbb{Q}$上的分裂域。由于$\Phi_p$是一个次数为$p-1$的不可约多项式，则$[\mathbb{(Q)}(\zeta):\mathbb{Q}]$是一个次数为$p-1=2^m$的扩域，其次，迦罗瓦群的阶等于其扩域的次数，那么$\mid Gal(\mathbb{Q}/\mathbb{Q})\mid = 2^m$。所以该迦罗瓦群是一个2-群，那么它的正规子群列的商群都是2阶的。利用迦罗瓦基本定理，我们可以得到一个子域塔，它是由迦罗瓦群的固定域来的，且每个相邻的扩张都是2次扩张，也就是说这是一个2-塔，进一步可知$\zeta$是多重二次的，一个复数可构作当且仅当其是多重二次，所以$\zeta$是可够作数。