紧致性
我们先来讲讲紧致这一个重要的概念，度量空间的紧致性，首先，一个空间$A$的距离函数$d$指的是对任意两个元素$a,b\in A$，则有$d(a,b)\geq 0$，即意味着$d$的映射会得到一个非负实数。若$d(x_n,x) \to 0$，则我们说$x_n\to x$。若对$d(x_n,x_m)\to\infty$，其中$n,m\to \infty$时趋向$0$。则我们说$\{x_n\}$是一个柯西序列。显然，收敛序列都是柯西列，对于$R,C$，它的逆命题是成立的。即每个柯西序列都是收敛序列，但在我古早的文章之前我已经指出，在一些空间上，收敛序列可以不是柯西序列。例如无穷维的单位球。而后我们也证明了对于任意维度的$R^n$，逆命题是成立的。
定义：一个度量空间称为是完备的，这是在说每个柯西序列是收敛的。
若一个自己被看成一个子空间时是完备的，则说它是完备的，不难发现，一个度量空间的完备子集是闭的；一个完备空间的闭子集是完备的。
虽然在复分析中完备性就已经够用了，但我还是决定吧一个比完备性更强的概念写入。我们将会提到紧致性的概念。紧空间是完备的，但反过来不成立。事实上，$\mathbb{R,C}$的紧致子集都是有界闭集。但删掉这个概念不太明智，我不想混淆一些重要的事实
我们说开集族是集合$X$的一个开覆盖，若$X$包含在这些开集的并集中。子覆盖就是具有同一性质的开集族的一个子集。有限子覆盖指的是由有限的集合组成的一个覆盖。现在，紧致的定义如下：
定义（紧致）：集合$X$是紧致的，当且仅当每个开覆盖包含一个有限子覆盖。
我们可以表示为：
若我们把$X$设想为度量空间$S$的一个子集，并用$S$的开集来对它进行覆盖。若$U$是$S$中的一个开集，那么$U\cap X$也是是一个$X$的一个开子集（相对开集）。反之，$X$的每个开子集也可以表示成这一形式。所以我们的定义究竟是对全空间阐述，或者是说一个子集，都是没有区别的。
我们刚才说的，其实是实分析中的一个著名定理—海涅-博雷尔性质。它的重要性在于，若我们使用开覆盖来阐述，许多的证明会变得特别简单。
我们首先证明每个紧致空间必须是完备的。
证明： 设$X$是紧致的，并设$\{x_n\}$是$X$中的一个柯西序列。若$y$不是$\{x_n\}$的极限，则存在一个$\epsilon>0$，使得对无穷多个$n$，存在$d(x_n,y)>2\epsilon$。我们固定一个$n\geq n_0$，使得$d(x_n,y) > 2\epsilon$。则对所有的$m\geq n_0$，存在$d(x_m,y) \geq d(x_n,y) - d(x_m,x_n) > \epsilon$。这意味着$\epsilon$的邻域$B(y,\epsilon)$是有限的（包括$x_n$）。
现在，我们考虑由这有限多个$x_n$组成的开集$U$组成的集族，若$\{x_n\}$不收敛，那么我们用这个集族$U_n$可以得到一个$X$的开覆盖。那么就存在一个有限子覆盖，它由$U_1,\cdots,U_N$组成。并且这些子覆盖中的开集都是有限个元素组成的。也就是说，这些集合组成的序列是一个有限序列。但这不可能，我们不可能用一个有限的序列去覆盖一个无限的序列。
另一方面，紧致集是有界的，为了得到这点，我们取点$x_0$，并考虑它的一个球$B(x_0,r)$，其中$r$是半径。由这些球组成一些开覆盖。若$X$是紧致的，它将有一个有限的子覆盖。即$X\subset \bigcup^m_{i=1} B(x_0,r_i)$。只要选取$\max\{r_1,\cdots,r_m\} = r$，就有$X\subset B(x_0,r)$（注意我们已经固定点$x_0$）。由此可知对任意的$x,y\in X$。有$d(x,y) \leq d(x,x_0)+d(y,x_0) < 2r$，这说明$X$是有界的。
我们可以得到较强的性质
定义（全有界）：我们说集合$X$是全有界的，指对于任一$\epsilon > 0$，可用有限多个半径为$\epsilon$的球覆盖$X$
定理 一个集合是紧致的当且仅当其是完备且全有界的。
证明：我们设度量空间$S$是完备且全有界的，设存在一个开覆盖，但其不包含任何的有限子覆盖。令$\epsilon_n = 2^{-n}$，那么根据全有界，$S$应该是可以被有限多个$B(x,\epsilon_1)$覆盖的，如果每个都有一个有限的子覆盖，则$S$也是。由假设，我们设存在一个球$B(x_1,\epsilon_1)$，它是不可有限覆盖的，但因为$B(x_1,\epsilon_1)$是有界的，因此我们可以在里面找到一个$x_2\in B(x_1,\epsilon_1)$，它使得$B(x_2,\epsilon_2)$不存在有限覆盖。我们可以一直这样构造下去就得到了一个序列$x_n$，它具有以下性质：$B(x_n,\epsilon_n)$不存在有限覆盖，并且$x_{n+1}\in B(x_n,\epsilon_n)$。那么后一个性质意味着$d(x_n,x_{n+1}) < \epsilon_n$，那么$d(x_n,x_{n+p}) < \epsilon_n+\epsilon_{n+1} < \cdots < \epsilon_{n+p-1}$。这意味着$x_n$是柯西序列，将收敛到某个极限$y$，而这个$y$在我们给定的某个开覆盖$U$中的一个，由于$U$是开的，它包含球$B(y,\delta)$，取最大的$n$使得$d(x_n,y) < \delta/2$和$\epsilon_n < \delta/2$。那么$B(x_n,\epsilon_n)\subset B(y,\delta)$。由于$d(x,x_n)< \epsilon_n$。利用三角不等式，$d(x,y) \leq d(x,x_n)+d(x_n,y) < \delta$。那么实际上我们得到了一个覆盖$B(x_n,\epsilon_n)$。这与我们假设矛盾，因此$S$满足海涅-博雷尔性质。
推论：$\mathbb{R,C}$的一个子集是紧的当且仅当它是闭而有界。
证明： 这是海涅-博雷尔定理的内容
对于紧致，我们还有另一种表达，它与极限点相关。我们说$y$是$\{x_n\}$的一个极限点，若存在一个$\{x_n\}$的子序列收敛到$y$。一个极限点几乎与$x_n$组成的集合的一个聚点是相同的。不同的地方在于一个序列可以允许同一极限点重复出现，若$y$是极限点，则它的每个邻域包含无穷多个$x_n$。反过来同样成立
定理 一个度量空间是紧的当且仅当对每个无穷序列具有一个极限点
证明： 我们只是在重写刚才的证明。若$y$不是$\{x_n\}$的极限点，则$y$有一个包含有限个$x_n$的邻域。那么就可以得到有限个子覆盖。我们设是紧的，那么就存在一个有限子覆盖，可以得到序列是有限的，同样的，我们不可能用一个有限的序列覆盖一个无穷序列，这是一个矛盾。所以每个紧空间的无穷序列都存在一个极限点。
另一方面，每个序列都存在一个极限点，这意味着这是一个柯西数列。我们设空间不是全有界的，则存在$\epsilon>0$不能被有限多个$\epsilon$覆盖，我们构造序列$\{x_n\}$，选定$x_1,\cdots,x_n$。那么由假设，存在一个$x_{n+1}$不被$B(x_1,\epsilon)\cup B(x_2,\epsilon)\cup\cdots\cup B(x_n,\epsilon)$包含。这是可能的，因为我们的空间不是全有界的，所以这些邻域并不能覆盖全空间。因此$\{x_n\}$不存在收敛子序列，矛盾。
那么我们给出三种等价命题
对于任意$E\subseteq R^k$，下面三个命题是等价的
- 集合$E$是闭的且有界
- $E$是紧的
- $E$的每个无限子集在$E$中有一极限点