定义1
令$f(t) = u(t)+iv(t)$是任意连续的关于实变量$t$的复变量函数，其中$a \leq t\leq b$
$\int^b_a f(t)dt = \int^b_a u(t)dt+ i\int^b_a v(t)dt $
定义2
- 令$z(t) = x(t)+iy(t)$，$a\leq t\leq b$，一个由$z(t)$确定的曲线称为分段可微的并设
$dz(t) = x'(t) + iy'(t)$
若其$x,y$都在$[a,b]$上连续且在某个$[a,b]$的分割上的子区间$[a,x_1],\cdots,[x_{n-1},b]$上也是连续可微的
- 一曲线我们说是光滑的若，除非在有限的点上，否则$d z(t)$是不为零的（$x’(t)$和$y’(t)$不同时为零）。
最后我们定义一下线积分的定义。
定义3
令$C$是$z(t)$给出的光滑曲线，其中$a \leq t\leq b$，并设$f$是在所有$z(t)$上连续的函数，则$f$沿着$C$的积分就是
$\int_C f(z)dz = \int^b_a f(z(t))dz(t) dt$
注意的是，该曲线积分不仅仅取决只有沿着$C$的点，它还取决于曲线的方向。我们将证明它不需要进行特定的参数变换。直觉上看，若$z(t) , a\leq t\leq b$和$w(t),c\leq t \leq d$在相同的方向中沿着同一条曲线，则$\lambda = z^{-1}\circ w $将会是$[c,d]$在$[a,b]$上的一个一一映射
$w(t) = z(\lambda(t))$
无论如何，若$z$不是一一对应的，则很难定义$z^{-1}$。确实是这样，但我们可以把满足上述等式的一些$\lambda$组成一条等价曲线。
定义4
两条曲线
$C_1:z(t) , a\leq t\leq b$
和
$C_2:w(t), c\leq t\leq d$
是平滑等价的，若这里存在关于$C$的一一映射：$[c,d]\to [a,b]$使得$\lambda(c) = a$，$\lambda (d) = b$，且对所有$t$有$\lambda’(t) > 0$和
$w(t) = z(\lambda(t))$
引理：平滑等价
若$C_1,C_2$是平滑等价的，则
$\int_{C_1} f= \int_{C_2} f$
证明： 设$f(z) = u(z)+iv(z)$在$C_1$和$C_2$上有定义。则，由线积分定义
$ \begin{aligned}
\int_{C_{1}}f=&\int_{a}^{b}u(z(t))x^{\prime}(t)dt-\int_{a}^{b}v(z(t))y^{\prime}(t)dt\\
&+i\int_{a}^{b}u(z(t))y^{\prime}(t)dt+i\int_{a}^{b}v(z(t))x^{\prime}(t)dt
\end{aligned} $
且
$\int_{C_2}f=\int_c^d[u(z(\lambda(t)))+iv(z(\lambda(t)))][x'(\lambda(t))+iy'(\lambda(t))]\lambda'(t)dt$
在这里我们把某个满足等价定义的$\lambda$作为等价曲线的定义，并做简单的换元就有
$\int_c^du(z(\lambda(t)))x'(\lambda(t))\lambda'(t)dt=\int_a^bu(z(t))x'(t)dt,$
那么我们证明完毕。
定义5
设$C$是$z(t)$给定，其中$a\leq t\leq b$。则$-C$被定义为$z(b+a-t)$
引理6
$\int_{-C}f=\int_{C}f.$
证明：
那么$-C$的积分区域在$[b,a]$上。利用简单的定积分就有
$\int_{-C}f=-\int_{a}^{b}f(z(b+a-t))\dot{z}(b+a-t)dt.$
我们只需要换元就有
$\int_{-C}f=\int_{b}^{a}f(z(t))\dot{z}(t)dt=\int_{C}f.$
例子
令
$f(z)=\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},$
并设$C:z(t) = R\cos t+iR\sin t$，$0\leq t\leq 2\pi, R\neq 0$
做简单的极坐标换元就有
$\begin{gathered}
\int_{C}f(z)dz =\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{\cos t}{R}-i\frac{\sin t}{R}\right)(-R\sin t+iR\cos t)dt \\
=\int_{0}^{2\pi}idt=2\pi i
\end{gathered}$
引理7
令$C$是光滑曲线，再令$f,g$是$C$上的连续函数，再令$\alpha$是任意复数，则
引理8
设$G(t)$是一个关于$t$的连续复函数，则
$\int^b_a G(t)dt \ll \int^b_a \mid G(t)\mid dt$
证明： 我们设
$\int^b_a G(t)dt = Re^{i\theta}$
由引理7我们有
$\int^b_a e^{-i\theta}G(t)dt =R$
$G(t)$是复函数，那么我们可以假设$e^{-i\theta}G(t) = A(t)+iB(t)$，其中$A,B$是实的，那么
$R = \int^b_a A(t)dt = \int^b_a \text{Re}(e^{-i\theta}G(t))dt$
由于$\text{Re(z)} \leq \mid \text{Re}(z)\mid \leq \mid z\mid $，因此
$R\leq \int^b_a \mid G(t)\mid dt$
M-L方程
设$C$是长度为$L$的光滑曲线，那么$f$在$C$上是光滑的，并且在$C$上有$f \ll M$，那么
$\int_C fdz \ll ML$
证明： 我们设$C$是有$z(t) = x(t)+iy(t)$给出的，其中$a\leq t \leq b$，利用引理8，那么
$\begin{aligned}
\int_C f(z) dz = \int^b_a f(z(t))dz(t) dt \ll \int^b_a \mid f(z(t))dz(t)\mid dt
\end{aligned}$
利用积分中值定理在$\mid f(z(t))\mid $和$d\mid z(t)\mid $上。然后放缩，令$f’(\epsilon) < \max_{z\in C} \mid f(z)\mid$带入即可得到
$\begin{aligned}
\int_C f(z)d(z) \ll \max_{z\in C}\mid f(z)\mid \int^b_a \mid dz(t)\mid dt
\end{aligned}$
其次，我们注意到弧长实际上也是一段线积分，它是这样的。
$\begin{aligned}
L = \int^b_a \sqrt{(x'(t))^2 +(y'(t))^2}dt = \int^b_a \mid dz(t)\mid dt
\end{aligned}$
那么令$M$是最大的函数值，就有
$\begin{aligned}
\int_C f(z)dz \ll ML
\end{aligned}$
引理9
设$\{f_n\}$是复连续函数列且在光滑曲线$C$上关于$f_n\to f$一致收敛，则
$\begin{aligned}
\int_C f(z)dz = \lim\limits_{n\to\infty}\int_C f_n(z)dz
\end{aligned}$
证明：令
$\begin{aligned}
\begin{aligned}\int_Cf(z)dz-\int_Cf_n(z)dz=\int_C[f(z)-f_n(z)]dz\end{aligned}
\end{aligned}$
由于序列关于$f$一致收敛，那么我们对每个$n,z\in C$都有$\mid f(z)-f_n(z)\mid < \epsilon$
所以我们利用M-L方程可以轻易的得到
$\begin{aligned}
\begin{aligned}\int_Cf(z)-\int_Cf_n(z)dz\ll\epsilon\cdot (C的长度)\end{aligned}
\end{aligned}$
则对任意的$\epsilon> 0$我们就有
$\begin{aligned}
\int_C f(z)dz = \lim\limits_{n\to\infty}\int_C f_n(z)dz
\end{aligned}$
引理10
设$f$是解析函数的导数$F$，那么$f(z) = F’(z)$，其中$F$在光滑曲线$C$上的可解析的。则
$\begin{aligned}
\int_Cf(z)dz=F(z(b))-F(z(a)).
\end{aligned}$
这算是复数上的牛-莱定理。我们来证明一下
证明： 这个证明依赖于类似链式法则的方法，令
$\begin{aligned}
\gamma(t) = F(z(t)),~ a\leq t\leq b
\end{aligned}$
我们希望证明
$\begin{aligned}
\gamma(t) = f(z(t))dz(t)
\end{aligned}$
除在有限个点外是存在且非零的。
对任意的光滑曲线$\lambda(t)$，我们分别从他的实部和虚部考虑，我们可以看到有
$\begin{aligned}
\dot{\lambda}(t)=\lim\limits_{h\to0\atop h\text{是实数}}\frac{\lambda(t+h)-\lambda(t)}{h}.
\end{aligned}$
因此，
$\begin{aligned}
\begin{aligned}
\dot{\gamma}\left(t\right)& =\lim_{h\to0}\frac{F(z(t+h))-F(z(t))}{h} \\
&=\lim_{h\to0}\frac{F(z(t+h))-F(z(t))}{z(t+h)-z(t)}\cdot\frac{z(t+h)-z(t)}{h}.
\end{aligned}
\end{aligned}$
那么我们就得到了
$\begin{aligned}
d\gamma\left(t\right)=f(z(t))\dot{z}(t).
\end{aligned}$
最后就有
$\begin{aligned}
\begin{aligned}
\int_{C}f(z)dz& =\int_{a}^{b}f(z(t))\dot{z}(t)dt=\int_{a}^{b}\dot{\gamma}(t)dt \\
&=\gamma\left(b\right)-\gamma\left(a\right)=F(z(b))-F(z(a)).
\end{aligned}
\end{aligned}$