整函数的闭曲线定理

定义（闭曲线）

一曲线$C$是闭的，若它起点和终点是重合的，换句话说若$C$是由$z(t)$给定的曲线，其中$a \leq t\leq b$使得$z(a) = z(b)$，则$C$是闭曲线。 $C$是平凡闭的曲线，若其不存在其他的点重合，也就是说如果$z(t_1)$和$z(t_2)$是起点和终点有$z(t_1)=z(t_2)$使得$t_1< t_2$能够推导出$t_1 =a,t_2=b$

矩形定理

设$f$是整的且$\Gamma$是一个边界为矩形$R$的曲线。则

$\begin{aligned} \int_\Gamma f(z)dz = 0 \end{aligned}$

这个比较容易得到，因为有一对边的方向是相反的，他们可以抵消。

引理

若$f$是线性函数且$\Gamma$是矩形边界的曲线，则

$\begin{aligned} \int_\Gamma f(z)dz = 0 \end{aligned}$

证明： 令$f(z) = \alpha+\beta z$且令$\Gamma$由

$\begin{aligned} \Gamma:z(t), a\leq t\leq b \end{aligned}$

由于$f(z)$是处处是可解析的函数$F(z) = \alpha z+\beta z^2/2$的导函数，那么

$\begin{aligned} \int_\Gamma f(z)dz = \int_\Gamma F'(z)dz = F(z(b)) - F(z(a)) = 0 \end{aligned}$

我们现在来证明一下矩形定理的证明。

令$\int_\Gamma f(z)dz = I$，我们的目的是证明$I = 0$。

我们采用二分法的形式，将矩形分为4个小矩形$\Gamma_1,\cdots,\Gamma_4$，那么

$\begin{aligned} \int_\Gamma f = \sum^4_{i=1}\int_{\Gamma_i} f \end{aligned}$

注意其中箭头相对的地方，这些地方是可以抵消的，因此我们实际要计算的只有那些$\Gamma_1$，那么我们用一个新记号把他们记为一个大的$\Gamma^{(1)}$，他表达我们第一次做分割得到的四个矩形中一个矩形的边长。

令$R^{(1)}$是$\Gamma^{(1)}$围成的小矩阵。如果我们把$R^{(k)}$继续分成4个全等矩形，那么就有一个矩阵序列

$\begin{aligned} R^{(1)} \supset R^{(2)} \supset \cdots \end{aligned}$

他们的边是$\Gamma^{(1)},\Gamma^{(2)},\Gamma^{(3)},\cdots$

使得对每个$R^{(k+1)}$的边都等于$\frac{1}{2}R^{(k)}$，使得

$\begin{aligned} \int_{\Gamma^{(k)}} f(z)dz \gg \frac{I}{4} \end{aligned}$

令$z_0\in\cap^\infty_{k=1} R^{(k)}$，我们接下来的证明依赖于$z_0$的解析性。那么

利用线性近似法则，我们可以得到

$\begin{aligned} f(z) = f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\epsilon_z(z-z_0) \end{aligned}$

其中当$z\to z_0$有$\epsilon_z \to 0$

$\begin{aligned} \begin{gathered} \int_{\Gamma^{(n)}}f(z)dz =\int_{\Gamma^{(n)}}[f(z_{0})+f^{\prime}(z_{0})(z-z_{0})+\epsilon_{z}\cdot(z-z_{0})]dz \\ =\int_{\Gamma^{(n)}}\epsilon_{z}\cdot(z-z_{0})dz \end{gathered} \end{aligned}$

现在我们来估算积分，设原来的矩形长为$s$，那么

$\begin{aligned} \int_{\Gamma^{(n)}}|dz|=\Gamma^{(n)}\text{的长度}\leq\frac{4s}{2^n} \end{aligned}$

则对于任意的点$z$，$z-z_0$满足

$\begin{aligned} \mid z-z_0\mid \leq \frac{\sqrt{2}s}{2^n} \end{aligned}$ 给定$\epsilon>0$，我们选择一个$N$使得 $\begin{aligned} \mid z-z_0\mid \leq \frac{\sqrt{2}s}{2^N} \end{aligned}$

藉此我们可以推导出$\epsilon_z \ll \epsilon$。利用$M-L$方程，我们可以有

$\begin{aligned} \int_{\Gamma^{(n)}} f(z)dz \ll \epsilon \cdot \frac{4\sqrt{2}s^2}{4^n} \end{aligned}$

带入就有

$\begin{aligned} \frac{I}{4n}\ll\epsilon\frac{4\sqrt{2}s^{2}}{4n} \end{aligned}$

就有

$\begin{aligned} I \ll \epsilon\cdot 4\sqrt{2}s^2 \end{aligned}$

由于这对任意$\epsilon>0$成立，就有$I =0$

积分定理

若$f$是整的，则$f$是处处是可解析的导函数。因此，这里存在整函数$F$使得对所有的$z$都有$F’(z) = f(z)$

证明：

我们定义$F(z)$

$\begin{aligned} \int^z_0 f(\zeta)d\zeta \end{aligned}$

其中$ \int^z_0$表示积分沿着$0$到$\text{Re}(z)$，然后从$\text{Re}(z)$到$z$

我们再记

$\begin{aligned} F(z+h)=F(z)+\int_z^{z+h}f(\zeta)d\zeta \end{aligned}$

因此我们能够得到

$\begin{aligned} F(z+h) -F(z) = \int^{z+h}_z f(\zeta)d\zeta \end{aligned}$

就有

$\begin{aligned} \frac{1}{h}\int^{z+h}_z 1dz = \frac{1}{h}(z+h-1) =1 \end{aligned}$

最后，对每个$\epsilon\geq 0$，若$h$是足够小的，那么$\mid f(\zeta)-f(z)\mid \ll \epsilon$

最后，利用$ML$方程，我们有

$\begin{aligned} \frac{F\left( z+h \right) -F\left( z \right)}{h}-f\left( z \right) \ =&\ \frac{1}{h}\int_z^{z+h}{\left[ f\left( \zeta \right) -f\left( z \right) \right] d\zeta}\\ \ll& \frac{1}{h} \cdot 2h\epsilon = 2\epsilon \end{aligned}$

由于$\epsilon$的任意性，我们知道

$\begin{aligned} F'(z) = f(z) \end{aligned}$

闭曲线定理

若$f$是整的且$C$是光滑闭曲线，则

$\begin{aligned} \int_C f(z)dz =0 \end{aligned}$

证明 由于$f$是整函数，由积分定理，存在某个$F(z)$满足$F’(z) =f$。因此

$\begin{aligned} \int_C f(z)dz = \int_C F'(z)dz = F(z(b)) - F(z(a)) \end{aligned}$

因为$C$是闭曲线，所以$z(b) =z(a)$。Q.E.D

虽然闭曲线定理是对整函数适用，但唯一要满足的条件只有$f(z)$是处处可解析的导数。不然，例如$\int_C \frac{1}{z^2}dz$，除了$z = 0$之外都满足，但$z=0$的时候就出问题了。在$z=0$处不存在导数。