解析函数的性质

这个章节我们来研究一下幂级数和整函数之前的关系。

圆盘解析函数的幂级数形式

定理1

设$f$是在$D = D(a;r)$上的解析的。若封闭矩形$R$和它的点$a$是被$D$包含的，且$\Gamma$表示$R$的边界，则

$\begin{aligned} \int_\Gamma f(z)dz = \int_\Gamma \frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz =0 \end{aligned}$

证明： 这是我们之前证明过的矩形定理，但是定理要求被缩小在圆盘$D$内，并且满足$f$在$R$上是可解析的。这在题设已经给出了。

为了做简化，我们规定，若$f(z)$在区域$D$中解析，并且包括点$a$，则函数

$\begin{aligned} g(z) = \frac{f(z)-f(a)}{z-a} \end{aligned}$

表示为：

$\begin{aligned} g(z) = \begin{cases} \frac{f(z)-f(a)}{z-a} & z\in D,z\neq a\\ f'(a) & z =a \end{cases} \end{aligned}$

定理2

若$f$在$D(\alpha;r)$上解析，且$a\in D(\alpha;r)$，那么这里存在函数$F$和$G$在$D$上解析且使得

$\begin{aligned} F'(z) = f(z) , G'(z) = \frac{f(z)-f(a)}{z-a} \end{aligned}$

证明：

我们记

$\begin{aligned} F(z) = \int^z_a f(\zeta)d\zeta \end{aligned}$

且

$\begin{aligned} G(z) = \int^z_a \frac{f(\zeta)-f(a)}{\zeta -a}d\zeta \end{aligned}$

由柯西积分定理，我们知道闭曲线上全纯函数积分值位0，这意味着若我们选择两条不一样的线使得闭合且$f$在上解析，则这两条路径积分值是一样的。那么其中积分路径我们选择从$\alpha$到$z$的水平和垂直线段组成。注意对任意的$z\in D(\alpha;r)$和足够小的$h$,那么$z+h\in D(\alpha;r)$，利用积分基本定理，全纯函数若处处可解析，则存在一个函数$F(z)$它使得对任意的点$z\in D(\alpha;r)$使得$F’(z) = f(z)$

并且应用矩形定理有

$\begin{aligned} G'(z) = \frac{f(\zeta)-f(a)}{\zeta - a} \end{aligned}$

定理3

若$f$在圆盘$D(\alpha;r)$上解析且$a\in D(\alpha;r)$，且$C$是在$D(\alpha;r)$内的光滑闭曲线，那么

$\begin{aligned} \int_C f(z)dz = \int_C \frac{f(z)-f(a)}{z-a} dz =0 \end{aligned}$

由定理2，这里存在一个函数$G$使得在$D(\alpha;r)$上解析，有

$\begin{aligned} G'(z) = \frac{f(z)-f(a)}{z-a} \end{aligned}$

因此

$\begin{aligned} \int_C{\frac{f\left( z \right) -f\left( a \right)}{z-a}}dz\ =\ \int_C{ G'\left( z \right) dz\ =\ G\left( z\left( b \right) \right) -G\left( z\left( a \right) \right)}=0 \end{aligned}$

由于$G$的起点和终点重合，因此$\int_C f(z) dz =0$

定理4 圆盘上的柯西方程

设$f$是$D(\alpha;r)$上解析的函数，其中$ 0 < \rho < r$，且对任意的点$a$有$\mid a- \alpha\mid < \rho$。则

$\begin{aligned} f\left( a \right) \ =\ \frac{1}{2\pi i}\int_{C_p}{\frac{f\left( z \right)}{z-a}dz} \end{aligned}$

其中$C_p$表示$\alpha+\rho e^{i\theta}$的圆，其中$0\leq \theta\leq 2\pi$

证明：

$\begin{aligned} \int_{C_p}{\frac{f\left( z \right) -f\left( a \right)}{z-a}}dz =0 \end{aligned}$

那么

$\begin{aligned} f\left( a \right) \int_{C_p}{\frac{dz}{z-a}}=\,\,\int_{C_p}{\frac{f\left( z \right)}{z-a}dz} \end{aligned}$

其次，我们知道$\int_{C_p} \frac{dz}{z-a} = 2\pi i$

那么我们就证明完了。

圆盘上的解析函数的幂级数表达式

这是今天最后一个定理

若$f$在$D(\alpha;r)$上解析，则存在常数$C_k$使得

$\begin{aligned} f(z) = \sum^\infty_{k=0} C_k(z-\alpha)^k \end{aligned}$

对所有$z\in D(\alpha;r)$成立

证明：

选择$a\in D(\alpha;r)$和$\rho > 0$使得$\mid a-\alpha\mid < \rho <r$。

由柯西积分定理，若$\mid z -\alpha\mid < \mid a-\alpha\mid $

$\begin{aligned} f\left( a \right) \ =\ \frac{1}{2\pi i}\int_{C_p}{\frac{f\left( \omega\right)}{\omega-z}d\omega} \end{aligned}$

我们对被积函数做展开，那么有

$\begin{aligned} \frac{1}{\omega -\alpha}+\frac{z-\alpha}{\left( \omega -\alpha \right) ^2}+\frac{\left( z-\alpha \right) ^2}{\left( \omega -\alpha \right) ^3}+\cdots \end{aligned}$

这个级数我们知道在$C_p$上是一致收敛到$\frac{1}{\omega-z}$的。

那么

$\begin{aligned} f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_p}{f\left( \omega \right) \left[ \frac{1}{\omega -\alpha}+\frac{z-\alpha}{\left( \omega -\alpha \right) ^2}+\frac{\left( z-\alpha \right) ^2}{\left( \omega -\alpha \right) ^3}+\cdots \right]}d\omega \end{aligned}$

我们做替换令

$\begin{aligned} C_k(\rho) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_p}\frac{f(\omega)}{(\omega-a)^{k+1}}d\omega \end{aligned}$

那么就可以把上面的积分展开式重写为

$\begin{aligned} f(z) = C_0(\rho) + C_1(\rho)(z-\alpha) + C_2(\rho)(z-\alpha)^2+\cdots \end{aligned}$

注意：这里的$\rho$和系数$C_k(\rho)$是无关的 由于函数无限可微，则系数$C_k(\rho)$

$\begin{aligned} C_k(\rho) = \frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!} 对每个 \end{aligned}$ $\rho$ 成立，$0 < \rho < r $ 对所有$k$成立

那么我们就可以把$f(z)$重写为级数展开式：

$\begin{aligned} f(z) = \sum^\infty_{k=0}C_k(z-\alpha)^k \end{aligned}$