我们这章短暂的回顾一下群论。
这个章节从我们强调一些$F^*_p$中乘法的重要属性，并指出这些属性出现许多情况下。
那么对基础的$F^*_p$的属性探讨一下：
- 存在元素$1\in F^_p$满足对所有的$a\in F^_p$有$1\cdot a = a$
- 每个 $a\in F^_p$都存在$a^{-1}\in F^_p$满足$a\cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = 1$
- 满足乘法结合律 $a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$对所有$a,b,c\in F^*_p$成立。
- 满足交换 $a\cdot b = b \cdot a$对所有$a,b\in F^*_p$成立。
对群的研究是从加法和乘法开始的。这是群概念的由来：
定义1：
集合$G$和一些规则组成一个群，我们使用$*$表示这种规则，它用于将两个元素$a,b\in G$组合得到一个元素，但要完成运算需要具备如下三个条件
[单位] 存在$e\in G$使得 $ea = ae = a$对所有$a\in G$成立，
[逆] 对每个$a\in G$存在唯一的$a^{-1} \in G$使得$a*a^{-1} = e$
[结合] 对所有$a,b,c\in G$有$a(bc) = (ab)c$
满足下述条件的群我们称为阿贝尔群
- [交换] 对所有的$a,b,c\in G$有$ab = ba $
若$G$有有限个元素，则称$G$为有限群，$G$的阶指的是$G$中元素的数量，一般使用$\mid G\mid$或者$#G$表示。
我们将$ggg\cdots g$(n次)称为$g$的次幂，记为$g^n$
定义2：
设$G$是群，$a\in G$是群中的一个元素，设存在一个正整数$d$，使得$a^d =e$，这个最小的$d$称为$a$的阶。如果不存在这样的$d$，则称$a$具有无限阶。
命题1：
令$g$是有限群，则每个$G$的元素都是有限阶的。进一步说，若$a\in G$阶为$d$且$a^k = e$，则$d\mid k$
证明： 由于$G$有限，序列
这个序列最终是一定会重复的，即存在正整数$i,j$且$i < j$使得$a^i=a^j$。将两边乘上一个$a^{-i}$就有$a^{i-j} =e$，因为$i - j>0$，这证明了$a$的某个幂等于$e$。不妨设$d$是满足条件$a^d = e$的最小正整数。
现在设$k\geq d$也满足$a^k = e$。我们用$k$去除$d$，将得到
由于$a^k = a^d = r$，比较两边幂次就有
由于$d$是$a$的最小幂次，则$r$必须是$0$。因此我们得到$k = dq$有$d\mid q$
命题2：拉格朗日定理
令$G$是有限群和令$a\in G$，则$a$的阶被$G$的阶整除。
更具体一点的，令$n = \mid G\mid $是$G$的阶，令$a\in G$的阶是$d$，则